문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 자기장 세기 (문단 편집) ==== 자기 스칼라 퍼텐셜 ==== 윗 문단에서 논의했던 벡터 퍼텐셜 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\iiint \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{M(r')} \times \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' )]}}} 에 관측지점([math(\mathbf{r})])에 대한 회전 연산을 취하면, 자기장은 결정된다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \iiint \boldsymbol{\nabla} \times \left[ \frac{\mathbf{M(r')} \times \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}}\right] \,dV' )]}}} 이고, 벡터 항등식을 사용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \left[ \frac{\mathbf{M(r')} \times \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]=\mathbf{M(r')} \left[ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]-[\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}]\,\frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} )]}}} 이때, 우변의 제1항은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} =4 \pi \delta(\boldsymbol{\xi}) )]}}} 이 되고, 여기서 [math(\delta(\boldsymbol{\xi}))]는 [[디랙 델타 함수]]이다. 또한, 제2항은 좀 더 유용한 꼴로 바꿀 수 있으며, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle [\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}]\,\frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}}=\boldsymbol {\nabla} \left[ \mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]-\mathbf{M(r')} \times \left[ \boldsymbol{\nabla} \times \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right] )]}}} 우변의 제2항은 없어지므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle [\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}]\,\frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}}=\boldsymbol {\nabla} \left[ \mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right] )]}}} 가 된다. 최종적으로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ -\iiint \boldsymbol {\nabla} \left[ \mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]\,dV'+4 \pi \iiint \mathbf{M(r')} \delta(\boldsymbol{\xi}) dV ' \right] )]}}} 이때, 그레이디언트 연산은 적분과 독립적이므로 적분 안으로 나올 수 있으므로 위 항들은 아래와 같이 정리되게 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=- \mu_{0} \boldsymbol{\nabla} \left[\iiint \frac{1}{4 \pi} \frac{\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' \right]+\mu_{0} \mathbf{M(r)} )]}}} 따라서 자화 물질에 의한 자기 스칼라 퍼텐셜은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \iiint \frac{\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' \equiv \Phi_{m} )]}}} 이 나오게 된다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\mu_{0}[-\boldsymbol{\nabla} \Phi_{m}+ \mathbf{M(r)} ] )]}}} 로 쓸 수 있다. 후술하겠지만, 이러한 자기 스칼라 퍼텐셜은 자유 전류 밀도가 없는 곳에서만 정의될 수 있고, 자화 물질 자체의 퍼텐셜을 셈했으므로 이러한 조건에 맞게 퍼텐셜을 구했으므로 이 방법은 유효하다. 더 나아가서 퍼텐셜의 형태를 보면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \iiint \frac{\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' \equiv \Phi_{m} )]}}} 로, [[전기 변위장]] 문서에서 편극성 물질의 스칼라 퍼텐셜을 구했을 때와 동일한 형태라는 것을 알 수 있다. 따라서 이 퍼텐셜 또한 [[전기 변위장]] 문서의 방법에 따라 분해할 수 있고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \left[ \iint \frac{\sigma_{m}}{\xi}\,da'+\iiint \frac{\rho_{m}}{\xi}\,dV' \right] )]}}} 가 된다. 여기서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \rho_{m}=-\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{M} \qquad \qquad \sigma_{m}=\mathbf{M} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}} )]}}} 으로 자화 전하 밀도가 나오게 되는데, 중요한 것은 '''이 항은 수학적 처리를 하면서 얻어진 항'''이라는 점을 명심해야 한다. 멀리 나갈 필요 없이 자기장은 홀극이 존재하지 않는데도 위에선 마치 자기장 문제를 정전기학의 '전하'의 개념을 빌려서 퍼텐셜을 구할 수 있을 것처럼 서술되어 있는 것에서 유추할 수 있다.[* 자기장은 쌍극자 항부터 존재하게 된다. 자세한 것은 [[자기 쌍극자]] 문서에서 다중극 전개 과정을 한 번 볼 것을 권한다.] 하지만 이러한 것은 유용하게 작용하게 되는데, 자기장은 전기장에 비해 직관적 이해가 어렵다. 하지만 정전기학과 유사한 '전하'의 개념을 빌려 마치 극이 있는 마냥 문제를 바라보고 풀면 쉽게 문제를 풀 수 있고, 명백히 스칼라 퍼텐셜 기법은 벡터 퍼텐셜 기법보다 연산 면에서도 더 쉽다. 서술했듯, 자기 홀극은 존재하지 않으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \iint \sigma_{m} \,da '+\iiint \rho_{m} \,dV '=0 )]}}} 임이 성립하여야 하고, 수학적으로도 이게 성립한다는 것은 쉽게 보일 수 있다. 이상을 종합하여, 자화 물질에서 자기장은 아래와 같이 주어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{B(r)}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ \iiint \frac{\rho_{m} \, \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV'+\iint \frac{\sigma_{m} \, \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,da' \right]+\mu_{0}\mathbf{M(r)} )]}}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기